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文章摘要:rfd91.com,有这样实力越到后面但是脚步却没有向后面移动吗 那黑衣少年见杜世情似乎在思考并没有去找什么上古遗迹四弟五弟也同样是仙帝。

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rfd91.com:前言

春节放假会了老家,停更了很多天,这是年后连夜肝出来的第一篇文章,先来聊聊春节放假期间发生的事,这次回家遇到了我学生时代的女神,当年她在我心目中那是

"出淤泥而不染、濯清涟而不妖"

没想到这次遇到了她,身体发福,心目中女神的形象瞬间碎了,就像达芬奇再次遇到了蒙娜丽莎

"菡萏香销翠叶残"

好了,言归正传。

有时候我们可以需要判断在大型网络中两台计算机是否相连,是否需要建立一条新的连接才能通信;或者是在社交网络中判断两个人是否是朋友关系(相连表示是朋友关系)。在这种应用中,通常我们可能需要处理数百万的对象和数亿的连接,如何能够快速的判断出是否相连呢?这就需要使用到union-find算法

概念

相连

假如输入一对整数,其中每个数字表示的是某种对象(人、地址或者计算机等等),整数对p,q理解为“p与q相连”,相连具有以下特性:

  • 自反性:p与p是相连的
  • 对称性:如果p与q相连,那么q与p相连
  • 传递性:如果p与q相连,q与r相连,那么p与r也相连

对象如何与数字关联起来,后面我们聊到一种算法符号表

等价类

假设相连是一个种等价关系,那么等价关系能够将对象划分为多个等价类,在该算法中,当且仅当两个对象相连时他们才属于同一个等价类

触点

整个网络中的某种对象称为触点

连通分量

将整数对称为连接,将等价类称作连通分量或者简称分量

动态连通性

union-find算法的目标是当程序从输入中读取了整数对p q时,如果已知的所有整数对都不能说明p q是相连的,那么将这一对整数输出,否则忽略掉这对整数;我们需要设计数据结构来保存已知的所有整数对的信息,判断出输入的整数对是否是相连的,这种问题叫做动态连通性问题。

union-find算法API定义

public interface UF {
    void union(int p, int q); //在p与q之间添加一条连接

    int find(int p); //返回p所在分量的标识符

    boolean connected(int p, int q); //判断出p与q是否存在于同一个分量中

    int count(); //统计出连通分量的数量
}

如果两个触点在不同的分量中,union操作会使两个分量归并。一开始我们有N个分量(每个触点表示一个分量),将两个分量归并之后数量减一。

抽象实现如下:

public abstract class AbstractUF implements UF {
    protected int[] id;
    protected int count;

    public AbstractUF(int N) {
        count = N;

        id = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            id[i] = i;
        }
    }

    @Override
    public boolean connected(int p, int q) {
        return find(p) == find(q);
    }

    @Override
    public int count() {
        return count;
    }
}

接下来我们就主要来讨论如何实现union方法和find方法

quick-find算法

这种算法的实现思路是在同一个连通分量中所有触点在id[]中的值都是相同的,判断是否连通的connected的方法就是判断id[p]是否等于id[q]。

public class QuickFindImpl extends AbstractUF {
    public QuickFindImpl(int N) {
        super(N);
    }

    @Override
    public int find(int p) {
        return id[p];
    }

    @Override
    public void union(int p, int q) {
        int pId = find(p);
        int qId = find(q);

        if (pId == qId) { //如果相等表示p与q已经属于同一分量中
            return;
        }

        for (int i = 0; i < id.length; i++) {
            if (id[i] == pId) {
                id[i] = qId; //把分量中所有的值都统一成qId
            }
        }
        count--; //连通分量数减一
    }

}
  • 算法分析:
    find()操作显然是很快的,时间复杂度O(1), 但是union的算法是无法处理大型数据的,因为每次都需要变量整个数组,那么union方法的时间复杂度是O(n)

quick-union算法

为了提高union方法的速度,我们需要考虑另外一种算法;使用同样的数据结构,只是重新定义id[]表示的意义,每个触点所对应的id[]值都是在同一分量中的另一个触点的名称

在数组初始化之后,每个节点的链接都指向自己;id[]数组用父链接的形式表示了森林,每一次union操作都会找出每个分量的根节点进行归并。

public class QuickUnionImpl extends AbstractUF {
    public QuickUnionImpl(int N) {
        super(N);
    }

    @Override
    public int find(int p) {
        //找出p所在分量的根触点
        while (p != id[p]) {
            p = id[p];
        }
        return p;
    }

    @Override
    public void union(int p, int q) {
        int pRoot = find(p); //找出q p的根触点
        int qRoot = find(q);
        if (pRoot == qRoot) { //处于同一分量不做处理
            return;
        }
        id[pRoot] = qRoot; //根节点
        count--;
    }

}
  • 算法分析:
    看起来quick-union算法比quick-find算法更快,因为union不需要为每对输入遍历整个数组,
    考虑最佳情况下,find方法只需要访问一次数组就可以得到根触点,那么union方法的时间复杂度O(n);
    考虑到最糟糕的输入情况,如下图:

find方法需要访问数组n-1次,那么union方法的时间复杂度是O(n2)

加权quick-union算法

为了保证quick-union算法最糟糕的情况不在出现,我需要记录每一个树的大小,在进行分量归并操作时总是把小的树连接到大的树上,这种算法构造出来树的高度会远远小于未加权版本所构造的树高度。

public class WeightedQuickUnionImpl extends AbstractUF {
    private int[] sz;

    public WeightedQuickUnionImpl(int N) {
        super(N);
        sz = new int[N];
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            sz[i] = 1;
        }
    }

    @Override
    public void union(int p, int q) {
        int pRoot = find(p); //找出q p的根触点
        int qRoot = find(q);
        if (pRoot == qRoot) { //处于同一分量不做处理
            return;
        }
        //小树合并到大树
        if (sz[pRoot] < sz[qRoot]) {
            sz[qRoot] += sz[pRoot]; 
            id[pRoot] = qRoot;
        } else {
            sz[pRoot] += sz[qRoot];
            id[qRoot] = pRoot;
        }
        count--;
    }

    @Override
    public int find(int p) {
        //找出p所在分量的根触点
        while (p != id[p]) {
            p = id[p];
        }
        return p;
    }
}
  • 算法分析:
    最坏的情况下,每次union归并的树都是大小相等的,他们都包含了2的n次方个节点,高度都是n,合并之后的高度变成了n+1,由此可以得出union方法的时间复杂度是O(lgN)

总结

union-find算法只能判断出给定的两个整数是否是相连的,无法给出具体达到的路径;后期我们聊到图算法可以给出具体的路径

算法 union() find()
quick-find算法 N 1
quick-union算法 树的高度 树的高度
加权quick-union算法 lgN lgN

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